в статье приводится решение задачи конвективного теплопереноса с учётом внешней теплоотдачи. При этом граничные условия заданы краевыми условиями. Решение приведено в декартовой системе координат. Также в работе рассмотрен частный случай, когда отсутствует отдача теплоты во внешнюю среду.
теплопередача, конвективный перенос, матрица теплопроводности, температурное поле, теплообмен
Уравнение конвективного переноса тепла в криволинейном стержне в случае стационарного обмена имеет вид [1, с. 42]
. (1)
где плотность жидкости, c изобарная теплоемкость жидкости, S – площадь поперечного сечения, Tе некоторая средняя по окружности внешняя температура, v скорость теплоносителя, коэффициент внешнего теплообмена.
Разделим обе части уравнения (1) на . Получим
. (2)
Пусть
(3)
Тогда, благодаря (3), уравнение (2) примет вид
(4)
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид [2, с. 175, 3, с. 300]
(5)
Коэффициент с находится благодаря граничным условиям.
Рассмотрим прямолинейный теплоноситель длиной l (рис. 1)
Рис. 1. Прямолинейный теплоноситель.
где l = .
Пусть в точке x1 задана температура T1. Требуется найти температуру T вдоль рассматриваемого теплоносителя, если задана внешняя температура окружающей среды .
Из (5) для имеем
(6)
Откуда
(7)
Подставим найденный коэффициент в общее решение уравнения.
(8)
(9)
Если точку х1 принять за 0, то получится следующее уравнение:
(10)
Раскроем скобки и вынесем за скобку
(11)
Таким образом, температура вдоль стержня является линейной функцией, зависящей от начальной и внешней температур
и (12)
Температура на другом конце теплоносителя, то есть в точке х = , благодаря (6) и (10) равна
(13)
Исследуем зависимость температуры на выходе в зависимости от и от .
1. Отсутствует внешняя теплоотдача ( = 0).
= 0, , следовательно, = .
При отсутствии отдачи теплоты во внешнюю среду температура на выходе равна температуре на входе :
=
2. Зависимость от скорости.
а) = 0
, , следовательно, = .
б)
, следовательно, = .
При нулевой скорости температура на выходе равна температуре окружающей среды ; при больших скоростях температура на выходе равна температуре на входе .
Полученные результаты демонстрируют графики, изображенные на рисунке 2, зависимости от скорости при различных коэффициентах внешнего теплообмена.
Рис. 2. Графики зависимости от скорости при различных коэффициентах внешнего теплообмена.
На рисунке 3 изображены графики зависимости температуры на выходе от длины теплоносителя при различных коэффициентах внешнего теплообмена.
Рис. 3. Графики зависимости от длины при различных коэффициентах внешнего теплообмена.
В настоящей работе приведено решение распределения температурного поля стержня при заданных значениях температуры.
Как видим, полученные соотношения достаточно просты. Это объясняется классической геометрией рассматриваемых конфигураций и стационарностью самого процесса.
1. Канарейкин А. И. Уравнение переноса тепла в криволинейном стержне // Матрица научного познания, 2021. №4-1 - С.42-45.
2. Канарейкин А. И. Применение математического аппарата Берса к решению задачи теплопроводности // Научные труды Калужского государственного университета имени К.Э. Циолковского Сер. "Естественные науки" Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского, 2018. - С. 175-178.
3. Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи. Изд. 2-е, стереотип. М., «Энергия», 1977. - 344 с.
Авторы: Кудрявцева Лариса Александровна
