с 01.09.2017 по настоящее время Аксай, Ростовская область, Россия
УДК 51 Математика
ГРНТИ 27.01 Общие вопросы математики
ОКСО 01.04.01 Математика
ББК 221 Математика
ТБК 611 Математика
В данной статье рассматривается классическая модель экономического роста Р. Солоу. Дается оценка величин параметров для достижения устойчивого состояния экономики. Проводится анализ решения задачи с помощью модели.
модель, Солоу, экономический рост, производственная функция, устойчивое состояние, потребление, капиталовооруженность, объем производства, технологический прогресс
В 1956 году американский исследователь Роберт Солоу разработал модель экономического роста, предназначенную для изучения хозяйственного функционирования домохозяйств и фирм. Что же представляет собой модель Р. Солоу? Это неоклассическая модель, которая отражает взаимодействие сбережений, роста научно-технического прогресса, трудовых ресурсов и уровня жизни населения. Важно и полезно с экономической точки зрения рассмотреть ее содержание подробнее.
Любая модель своим появлением обязана ряду процессов и явлений, сложившихся в экономике и повлиявших на мысли и решения ученого. Так и у модели Солоу есть определенные предпосылки, составляющие содержание следующих положений [1, c.640]:
- макроэкономическое равновесие, то есть положение при котором совокупный спрос равен совокупному предложению (AD=AS) – важнейшее и необходимое условие благосостояния экономики;
- совокупное предложение основывается на действии производственной функции Кобба-Дугласа, рассматривающей зависимость объема производства от использованного труда и капитала;
- постоянная отдача от масштаба производства;
- гибкие цены на рынке товаров и услуг;
- полная занятость ресурсов;
- совершенная конкуренция на рынке факторов производства;
- постоянная норма выбытия капитала;
- убывающая производительность капитала.
Модель экономического роста Солоу включает несколько уравнений, описывающих динамичность хозяйственной системы [2, c.169].
1. Равенство инвестиций и сбережений (I=S) является условием равновесия, при этом инвестиции пропорциональны доходу. В экономике запасы капитала находятся в зависимости от выбытия (амортизации) капитала (dKt ) и объема инвестиций (it), то есть: dKt= it - dKt. В этом отношении необходимо ввести следующее определение: устойчивый уровень капиталовооруженности (К*) – это запас капитала, при котором инвестиции (it) равны величине амортизации (dKt) и соответственно dKt = 0.
Устойчивый уровень характеризуется соотношением Kt/Lt и выпуском на одного работника Yt/Lt. Важно понимать, что в каком бы положении ни находилась экономика государства, она всегда будет стремиться к стационарному (устойчивому) состоянию. Обратимся к рисунку 1.
Рис. 1. Амортизация, инвестиции и устойчивый уровень капиталовооруженности
При расположении капитала в точке К1, инвестиции превышают выбытие капитала, значит капиталовооруженность будет увеличиваться, пока не достигнет уровня К*. Если же запасы в точке К2, то инвестиции меньше, чем выбытие, и запасы будут снижаться, пока не приблизятся к точке К*. Это условие помогает фирмам грамотно строить свою экономическую политику, не допускать ошибок, снижающих конкурентоспособность.
Внимание ученого привлекла норма накопления (сбережения), задающая уровень капиталовооруженности [3, c.105]. Чтобы ознакомиться с этой зависимостью, изучим рисунок 2.
Рис.2. Влияние нормы сбережений на равновесное состояние в экономике
Рост нормы сбережения с S1 до S2 перемещает линию инвестиций с S1f(K) до S2f(K), что позволяет экономике перейти на новый устойчивый уровень К2*, где объемы капиталовооруженности и производительности труда больше.
Таким образом, модель экономического роста отражает ведущую роль нормы сбережения (накопления) в определении устойчивого уровня капиталовооруженности. Чем выше норма накопления-сбережения, тем выше уровень производства и больше запас капитала.
2. Производственная функции с постоянной отдачей от масштаба производства помогает охарактеризовать величину объема предложения на рынке товаров и услуг: Ys = f(L,K). В развернутом виде данная функция примет вид:
Y = (dY/dL)L + (dY/dK)K,
где dY/dL – предельный продукт труда;
dY/dK – предельный продукт капитала.
Р. Солоу пришел к заключению, что объем производства в расчете на одного работника есть функция его капиталовооруженности. При этом парадоксально следующее: производительность труда увеличивается при росте капиталовооруженности, но с убывающей скоростью.
3. Предъявляемый со стороны потребителей и инвесторов спрос на товары и услуги выражается следующей формулой: Yid = C + I. Инвестиции в пересчете на одного работника могут быть вычислены по уравнению: it = It /Lt. Если выразить потребление в пересчете на одного работника, то получим соотношение: сt = Ct /Lt.
4. Р. Солоу предполагает, что имеет место постоянный рост населения, и, соответственно, число занятых в производстве также увеличивается с прямо пропорциональной зависимостью. Имеет место полная занятость, благодаря гибкости цен на рынке факторов производства [4, c.240].
Почему изменяется объем капитала? Это происходит потому, что при увеличении массы капитала вследствие активизации инвестиций часть его амортизируется, а другая часть используется для оплаты труда новым привлеченным работникам, и в результате объем капитала уменьшается.
Накопление капитала в таком случае можно посчитать по формуле:
▲Kt = it - dKt - nKt,
где ▲Kt – изменение объема капитала в расчете на одного работника;
it – объем инвестиций в расчете на одного работника;
dKt – величина амортизации в расчете на одного работника;
nKt – прирост капитала, вызванный приростом и занятостью населения.
Таким образом, для неподвижности капиталовооруженности при увеличении количества жителей страны нужно, чтобы скорость изменения населения бала равна скорости изменения объема капитала.
5. Ученый заключил, что страны с более высокими темпами роста населения имеют меньшую капиталовооруженность и, следовательно, более низкие доходы. Получается, что в странах с более низкими темпами роста населения - более высокие доходы и капиталовооруженность больше[5, c.134].
6. Однако ключевая идея модели состоит в том, что двигателем экономического роста является научно-технический прогресс [7, c.112]. Соответственно, в связи с этим условием меняется и вид производственной функции: Y = f ( K, L, e), где е – эффективность труда одного работника; L – численность эффективных единиц рабочей силы. Ученый пришел к выводу, что технический прогресс является единственным условием повышения уровня жизни населения в государстве [6, c.114].
Теперь представляется целесообразным решить задачу, используя уравнения модели Р. Солоу. Составим условие: «Производство всего дохода государства может быть описано функцией yt = Lt0,5 * Kt0,5. В определенном периоде t0 в экономический оборот вовлечено 8 единиц труда и 648 единиц капитала. Темп прироста объема работников равен 5% за период.
1. Определить норму сбережений для установления равновесного роста по модели Солоу и вычислить темп этого роста.
2. Пусть норма сбережений будет равна 50%, тогда чему будет равна величина капитала для достижения равновесного роста?
Решение данной задачи заключается в следующем:
1. Равновесный рост согласно Солоу выражается так: sy=nk. Капиталовооруженность труда равна k = K / L = 648 / 8 = 81. Выпуск на одного работника равен y = K0,5 = (81)0,5 = 9. Тогда s = nk/y = 0,05*81/9 = 0,45 (или 45%). Темп равновесного роста будет равен темпу прироста населения n = 5%.
2. При норме сбережений s = 0,5 капиталовооруженность труда должна составить k = sy/n = 0,5k0,5 / 0,05. Составим уравнение:
K0,5 = 0,5 / 0,05k = (0,5 / 0,05)2. Тогда К = 8*(0,5 / 0,05)2 = 800 единиц.
Ответ: 1. Норма сбережений, активизирующая равновесный рост по модели Солоу, равна 45%. Темп роста ‒ 5%; 2. Объем капитала при норме сбережений 50% равен 800 единиц.
В заключение работы хочется отметить, что модель экономического роста Солоу помогает рассмотреть взаимосвязь трех основных источников развития – научно-технического прогресса, объема инвестиций и численности рабочей силы. В условиях интеграции мирового сообщества изучение этой модели для меня, будущего экономиста, становится необходимой задачей, ведь в будущем мне придется анализировать, сравнивать, делать отчеты и, конечно, рассчитывать путь оптимального экономического роста.
1. Александров Д.Г., Громыко В.В., Журавлева Г.П. Экономическая теория: макроэкономика -1, 2, метаэкономика, экономика трансформаций: учеб/ под общ. ред. Г.П. Журавлевой.- Москва: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2016. - 919 с.
2. Анисимов А. А., Артемьев Н. В., Тихонова О. Б. Макроэкономика : теория, практика, безопасность: учебное пособие - Москва: Юнити-Дана, 2015. - 599 с.
3. Колемаев В. А. Математическая экономика: учебник. - Москва: Юнити-Дана, 2015. - 399 с.
4. Колемаев В.А. Математические методы и модели исследования операций: учебник - Москва: Юнити-Дана, 2015. - 592 с.
5. Кузнецов Б. Т. Макроэкономика: учебное пособие. - Москва: Юнити-Дана, 2015. - 463 с.
6. Кундышева Е. С. Математические методы и модели в экономике: учебник - Москва: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2017. - 286 с.
7. Шандра И. Г. Математическая экономика: учебник для студентов бакалавриата и магистратуры экономических вузов и факультетов - Москва: Прометей, 2018. - 176 с.
