с 01.09.2017 по настоящее время Таганрог, Ростовская область, Россия
с 01.09.1999 по настоящее время Село Благодарное, Краснодарский край, Россия
УДК 51 Математика
ГРНТИ 27.01 Общие вопросы математики
ОКСО 01.04.01 Математика
ББК 221 Математика
ТБК 611 Математика
В данной статье будут рассмотрены конфликтные ситуации и упрощенные модели конфликта — игры. Приведен перечень видов игр и подробно рассмотрен один из видов, а именно матричные игры. Дан анализ основных положений матричных игр, охарактеризованы ее составляющие. В статье приводится решение задачи, которое показывает простоту и полезность применения матричных игр.
конфликт, матричные игры, стратегия, игрок, выигрыш
Экономика, как и любая другая сфера жизни человека, не исключает возможность возникновения таких ситуаций, в которых сталкиваются интересы двух, трёх и более сторон. Эти стороны стремятся достичь разные цели и получить выгодный именно им результат. Этот результат является следствием выполнения одной из сторон, так называемых, стратегий. Описанная выше ситуация носит название — конфликтная ситуация.
Конфликтные ситуации, существующие в реальной жизни, являются довольно сложными. К таким ситуациям относят:
Борьбу фирм за рынок сбыта;
Карточные игры;
Выборы в парламент;
И т.д.
Изучение конфликтных ситуаций является затруднительным, так как оно осложнено различными факторами, которые зачастую не оказывают значительное влияние на исход конфликта. Для объективного анализа конфликтной ситуации требуется абстрагирование от факторов, являющихся второстепенными в данной ситуации, которое сделает возможным построение упрощенной модели конфликта, носящей название — игра. Игра имеет весомое отличие от реальной конфликтной ситуации, и это отличие заключается в том, что игра ведется по определенным правилам.
Поговорим подробнее об игре. Стороны, которые участвуют в игре, называются игроками. Действия, которые совершают игроки, называются стратегией. Совокупность стратегий имеет название — ситуация. Число, которое отражает степень удовлетворения интересов и потребностей игрока, называется выигрышем [6, c.7].
Игры, о которых идет речь, по виду функций выигрышей можно поделить на: биматричные, матричные, выпуклые, позиционные, непрерывные и т.д.
В данной статье мы бы хотели подробно раскрыть суть матричных игр.
Матричные игры представляют собой игры, в которых, два игрока играют в игру с нулевой суммой, имея конечное число «чистых» стратегий: {1,…,m} и {1,…,n} и для любого {ij} задан платёж a_ij второго игрока первому. Иными словами, матричная игра — это игра двух игроков с нулевой суммой, каждый игрок в данной игре имеет конечное множество стратегий. Правила матричной игры задаются платёжной матрицей, элементами которой являются выигрыши первого игрока (проигрыши второго игрока).
Предположим, что в игре принимают участие два игрока. Допустим игрок А имеет m стратегий, а игрок B имеет n стратегий [1, c.228].
Если первый игрок А выбирает стратегию А_i, а второй игрок В выбирает стратегию В_j, то выигрыш первого игрока А будет равен a_ij, а выигрыш второго игрока В будет равен b_ij, причём (1)
a_ij= -b_ij (1)
Матричные игры, в которых a_ij+(-b_ij )=0, то есть игры в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого именуются парными играми с нулевой суммой.
Составим таблицу выигрышей, в которой строки соответствуют стратегиям первого игрока А, а столбцы соответствуют стратегиям второго игрока В (табл.1) [3, c.68].
Таблица 1.
Таблица выигрышей
B_1 B_2 … B_n
A_1 a_11 a_12 … a_1n
A_2 a_21 a_22 … a_2n
… … … … …
A_m a_m1 a_m2 … a_mn
Но намного чаще выигрыши записываются в виде платёжной матрицы размера m×n. В платёжной матрице элементами являются числа, которые отражают количество выигрышей и проигрышей игроков. Составим матрицу (2):
А = (■(a_11&a_12&…&a_1n@a_21&a_22&…&a_2n@…&…&…&…@a_m1&a_m2&…&a_mn )) (2)
Матричные игры относят к разряду антагонистических.
Теория игр имеет предположение, что и первый игрок А и второй игрок В стараются получить максимальный выигрыш, пологая, что соперник будет выполнять действия самым оптимальным для себя образом. Перейдём к нахождению оптимальных стратегий игроков (табл.2.). На примененную стратегию А_i первого игрока А второй игрок В ответит применением стратегии В_j, в случае применения которой выигрыш первого игрока А окажется минимальным. Так же второй игрок В будет действовать на все применяемые первым игроком А стратегии [3, c.67].
Таблица 2
Оптимальные стратегии игроков
Первый игрок А Второй игрок В
Отыщем в матрице (рис.2) минимальные выигрыши, которые принадлежат первому игроку А (3)
α_i=min┬j〖α_ij 〗,i=1,2,…,m (3)
Занесем полученные данные в правый столбец таблицы 3.
Первый игрок А, действия которого направлены на получение выигрыша в игре, выберет ту стратегию А_i, для которой α_i будет максимальным. Именно из-за этого между всеми числами α_i мы выбираем только максимальное число (4)
α= max┬i〖α_i=max┬imin┬j〖a_ij 〗 〗 (4)
Число α —нижняя цена игры.
Принцип, который используется при построении стратегии первого игрока А, именуется принципом максимина (maxmin).
Отыщем в матрице (рис.2) максимальные выигрыши, которые принадлежат первому игроку А (5)
β_j=max┬i〖α_ij 〗,j=1,2,…,n (5)
Занесем полученные данные в нижнюю строку таблицы 3.
Первый игрок В, действия которого направлены на получение выигрыша в игре, выберет ту стратегию B_j, для которой β_j= max┬i〖a_ij 〗 будет минимальным. Именно из-за этого между всеми числами β_j мы выбираем только минимальное число (6)
β_j= min┬j〖β_j=min┬jmax┬i〖a_ij 〗 〗 (6)
Число β —верхняя цена игры.
Принцип, который используется при построении стратегии второго игрока В, именуется принципом минимакса (minmax).
Таблица 3
В_1 В_2 … В_j … В_n Минимальные выигрыши первого игрока А
А_1 а_11 а_12 … а_1j … а_1n α_1
А_2 а_21 а_22 … а_2j … а_2n α_2
… … … … … … … …
А_i а_i1 а_i2 … а_ij … а_in α_i
… … ... … … … … …
А_m а_m1 а_m2 … а_mj … а_mn α_m
Максимальные выигрыши первого игрока А β_1 β_2 … β_j … β_n
Число α и число β связаны неравенством (7):
α ≤β (7)
В том случае, если α=β= a_(i,opt,j,opt ) или max┬imin┬j〖a_ij 〗 =min┬jmax┬i〖a_ij 〗 =〖=a〗_(i,opt,j,opt ), то ситуация (A_(i,opt),B_(j,opt) ) называется равновесной. Так же игру с таким исходом именуют игрой с седловой точкой, а значения (A_(i,opt),B_(j,opt) ) именуют седловой точкой матрицы [3, c.7]. Матричная игра может иметь различное количество седловых точек, но эти точки будут одинаковыми. В ситуации, когда max┬imin┬j〖a_ij 〗 =min┬jmax┬i〖a_ij 〗 =〖=a〗_(i,opt,j,opt )ни один из двух игроков не хочет нарушить игру, можно сказать в таком случае игра приобретает свое конечное решение. Но если всё же возникает ситуация при которой α ≠β, то игра не считается оптимальной для обоих игроков и они пытаются использовать смешанные стратегии, результаты которых бы удовлетворили потребности всех членов игры.
Для того чтобы доказать полезность и простоту применения матричных игр на практике решим задачу.
Условие. Существует некая платёжная матрица А = (■(-2&-1&-3&2@4&3&1&3@2&3&0&4@1&-1&1&-1)). Нам указано, какую долю рынка сможет выиграть кондитерская фабрика «Ириска» у своего единственного конкурента кондитерской фабрики «Волна», если кондитерская фабрика «Ириска» будет действовать согласно каждой из четырёх доступных стратегий, а кондитерская фабрика «Волна» будет действовать согласно каждой из своих четырёх доступных стратегий. Необходимо узнать, имеется ли у данной матричной игры седловая точка в чистых стратегиях.
Решение. Исходя из имеющихся данных, составим таблицу:
В_1 В_2 В_3 В_4 α_i
A_1 -0,2 -0,1 -0,3 0,2 -0,3
A_2 0,4 0,3 0,1 0,3 0,1
A_3 0,2 0,3 0 0,4 0
A_4 0,1 -0,1 0,1 -0,1 -0,1
β_j 0,4 0,3 0,1 0,4
В столбце α_i напишем минимальные значения строк, в строке β_j напишем максимальные значения столбцов. Находим в столбце α_i элемент с максимальным значением, этот элемент является нижней ценой игры, то есть α = max┬(i=1,2,3,4)min┬(j=1,2,3,4)〖a_ij=max{-0,3;0,1;0;-0,1}=0,1.〗 Находим в строке β_j элемент с минимальным значением, этот элемент является верхней ценой игры, то есть β = min┬(i=1,2,3,4)max┬(j=1,2,3,4)〖a_ij=min{0,4;0,3;0,1;0,4}=0,1.〗 Как можно заметить нижняя цена игры соответствует второй стратегии первого игрока, а верхняя цена игры соответствует третьей стратегии второго игрока. Если оба игрока будут придерживаться данным стратегиям, то первый игрок (кондитерская фабрика «Ириска») сможет обеспечить себе выигрыш не менее ν=α=β=0,1=10% рынка, а второй игрок (кондитерская фабрика «Волна») сможет обеспечить себе гарантию того, что кондитерская фабрика «Ириска» не выиграет более ν=10% рынка.
Итак, можно прийти к выводу, что данная матричная игра имеет седловую точку, оптимальной чистой стратегией кондитерской фабрики «Ириска» является вторая, а оптимальной чистой стратегией кондитерской фабрики «Волна» является третья. Цена игры равна ν=0,1. При данном раскладе оба игрока находятся в оптимальном положении, и никому из них не выгодно отклонятся от своих стратегий, так как отклонение может привести к проигрышу на рынке.
Итак, матричные игры служат простым и довольно полезным способом решения конфликтов. Они могут быть использованы для решения конфликтов, как в экономике, так и в любой сфере жизни. Для подробного изучения матричных игр нами было рассмотрено большое количество задач, среди которых можно отметить игры типа «Работодатель—работник», «Семейный спор», «Угадывание монеты» и т.д. И мы пришли к выводу, что с помощью матричных игр можно быстро решить конфликтную ситуацию, что является хорошим способом улаживания проблем на производстве и в других областях.
1. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шишкин Е.В., Заляпин В.И., Соболев С.К. Вся высшая математика: учебник. Т.5. - Москва: Эдиториал УРСС, 2001 - 296 с.
2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. - Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.
3. Самаров К.Л. Элементы теории игр: учебно-методическое пособие. - Москва: ООО «Резольвента», 2009. - 23 с.
4. Орлова И.В., Тармаш А.Н., Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие. - Москва: Юнити-Дана, 2015. - 302 с.
5. Цвиль М.М. Математические методы и модели в управлении: учебное пособие. - Ростов-на-Дону: Российская таможенная академия, Ростовской филиал, 2015. - 222 с.
6. Шагин В.Л. Теория игр: учебник и практикум для академического бакалавриата. - Москва: Издательство Юрайт, 2016. - 223 с.
7. Шандра И. Г. Математическая экономика: учебник для студентов бакалавриата и магистратуры экономических вузов и факультетов. - Москва: Прометей, 2018. - 176 с.
